TRIGONOMETRI

A. UKURAN SUDUT DAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

     Coba perhatikan gambar di samping. Sebuah tangga                      bersandar pada tembok. Antara tangga dan alas (lantai)                  membentuk sudut tertentu.Begitu juga antara tangga dan                tembok. Jika anda perhatikan,kedudukan antara tangga, lantai,      dan tembok membentuk segitiga siku-siku.Pada segitiga                tersebut kita akan mempelajari konsep dasar sudut dan                  perbandingan trigonometri.





    1. Besar Sudut

                 Sudut merupakan besaran yang di peroleh dari hasil perputaran (rotasi) sinar              garis terhadap titik pusat putar tertentu dari sisi awal ke sisi akhir. Arah putaran                      mempunyai makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda positif jika arah                                  putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam.Sebaliknya, sudut                            bertanda negatif jika arah putarannya searah dengan putaran jarum jam.                                Lihatlah gambar berikut.

Hubungan antara drjat dan radian sebagai berikut.
1⁰= 1/360  putaran
          = 2π/360  rad =  π/180 rad
1⁰= π/180 rad
1 rad = 180/π

                   Letak/posisi sudut pada bidang koordinat dikenal dengan sebutan kuadran.               Bidang koordinat kartesius terbagi menjadi empat kuadran. Besar sudut pada setiap             kuadran sebagai berikut.

2. Perbandingan Trigonometri pada segitiga siku siku

B. Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
           
    1. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

                         Nilai perbandingan trigonometri di setiap kuadran pada bidang koordinat                 kartesius dirumuskan sebagai berikut.

               Kuadran 1
               
                Sin  a =  y/r = +
                Cos a = x/r = +
                Tan a = y/x = +

                Kuadran 2
               
                Sin a = y/r = +
                Cos a = –x/r = -
                Tan a = y/(-x) = -

                Kuadran 3

                Sin a = –y/r = -
                Cos a = –x/r = -
                Tan a = –y/(-x) = -

               Kuadran 4

               Sin a = –y/r = -
               Cos a = x/r = +
               Tan a = –y/x = -

2. Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

               3. Perbandingan Trigonometri sudut berelasasi



               Perbandingan Trigonometri  Sudut (90⁰ - α⁰)
               sin (90⁰ - α⁰) = cos α⁰
               cot (90⁰ - α⁰) = tan α⁰
               cos (90⁰ - α⁰) = sin α⁰
               sec (90⁰ - α⁰) = cosec α⁰
               tan (90⁰ - α⁰) = cot α⁰
               cosec (90⁰ - α⁰) = sec α⁰


            

              

              Perbandingan Trigonometri  Sudut (180⁰ - α⁰)
              sin (180⁰ - α⁰) = sin α⁰          
              cot (180⁰ - α⁰) = -cot α⁰
              cos (180⁰ - α⁰) = -cos α⁰      
              sec (180⁰ - α⁰) = -sec α⁰
              tan (180⁰ - α⁰) = -tan α⁰      
              cosec (180⁰ - α⁰) = cosec α⁰

            





             Perbandingan Trigonometri  Sudut (180⁰ + α⁰)
             sin (180⁰ + α⁰) = -sin α⁰      
             cot (180⁰ + α⁰) = cot α⁰
             cos (180⁰ + α⁰) = -cos α⁰                  
             sec (180⁰ + α⁰) = -sec α⁰
             tan (180⁰ + α⁰) = tan α⁰    
             cosec (180⁰ + α⁰) = -cosec α⁰


            





            Perbandingan Trigonometri  Sudut (270⁰ - α⁰)
            sin (270⁰ - α⁰) = -cos α⁰     
            cot (270⁰ - α⁰) = tan α⁰
            cos (270⁰ - α⁰) = -sin α⁰      
            sec (270⁰ - α⁰) = -cosec α⁰
            tan (270⁰ - α⁰) = cot α⁰      
            cosec (270⁰ - α⁰) = -sec α⁰


          



            

           Perbandingan Trigonometri  Sudut (270⁰ + α⁰)
            sin (270⁰ + α⁰) = -cos α⁰    
            cot (270⁰ + α⁰) = -tan α⁰
            cos (270⁰ + α⁰) = sin α⁰        
            sec (270⁰ + α⁰) = cosec α⁰
            tan (270⁰ + α⁰) = -cot α⁰    
            cosec (270⁰ + α⁰) = -sec α⁰


           



          Perbandingan Trigonometri  Sudut (-α⁰)
           sin (-α⁰) = -sin α⁰                        
           cot (-α⁰) = -cot α⁰
           cos (-α⁰) = cos α⁰                        
           sec (-α⁰) = sec α⁰
           tan (-α⁰) = -tan α⁰                    
           cosec (-α⁰) = -cosec α⁰


          




           Perbandingan Trigonometri  Sudut (n . 360⁰ + α⁰)
           sin (n . 360⁰ + α⁰) = sin α⁰                    
           cot (n . 360⁰ + α⁰) = cot α⁰
           cos (n . 360⁰ + α⁰) = cos α⁰                
           sec (n . 360⁰ + α⁰) = sec α⁰
           tan (n . 360⁰ + α⁰) = tan α⁰                
           cosec (n . 360⁰ + α⁰) = cosec α⁰




C. Persamaan dan identitas Trigonometri

             1.Persamaan Trigonometri

                 

                 2. Identitas Trigonometri

                 

Contoh soal dan pembahasan

1.      Nyatakan sudut 0,65 radian dalam satuan derajat!

                 Jawab :

2.         Nyatakan sudut 154° ke satuan radian!

Jawab:

3.    sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.
Tentukan:
a) panjang AC

b) sin θ

c) cos θ

d) tan θ

jawab :
a) panjang AC
Dengan phytagoras diperoleh panjang AC 


b) sin θ


c) cos θ


d) tan θ

4.      cos 315° adalah....

jawab :

Sudut 315° berada di kuadran IV. Nilai-nilai cosinus sudut di kuadran IV memenuhi rumus berikut :

cos (360° − θ) = cos θ

cos 315° = (360° − 45°) = cos 45° = ¹/₂ √2 

 5.  Buktikan bahwa :

jawab :

6.     persamaan trigonometri 2 con (3x + 30)^o = √3. himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah...

jawab :
2 cos (3x + 30) = √3
cos (3x + 30) = 1/2 √3
cos (3x + 30) = cos 30
3x + 30 = ±30 + k . 360    : 3
x + 10 = ± 10 + k . 120
x = k . 120 atau x = - 20 + k . 120
k = 0 maka x = 0 dan x = - 20
k = 1 maka x = 120 dan x = 100
k = 2 maka x = 240 dan x = 220
k = 3 maka x = 360 dan x = 340
Jadi himpunan penyelesaiannya {0, 100, 120, 220, 240, 340, 360}